2023新高考全国Ⅱ卷数学试卷真题
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2023新高考全国Ⅱ卷数学试卷真题
2023年普通高等学校招生全国统一考试
(新高考全国Ⅱ卷)数学
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内, (1+3i)(3-i) 对应的点位于()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
2. 设集合 A={0,-a},B={1,a-2,2a-2}, 若 A⊆B, 则 a=()
A. 2
B. 1
C. 2/3
D. -1
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生, 已知该校初中部和高中部分别有 400 名 和 200 名学生, 则不同的抽样结果共有()
A. C_400^45⋅C_200^15 种
B. C_400^20⋅C_200^40 种
C. C_400^30⋅C_200^30 种
D. C_400^40⋅C_200^20 种
4. 若 f(x)=(x+a)ln (2x-1)/(2x+1) 为偶函数, 则 a=()
A. -1
B. 0
C. 1/2
D. 1
5. 已知椭圆 C:x^2/3+y^2=1 的左、右焦点分别为 F_1,F_2, 直线 y=x+m 与 C 交于 A,B 两点, 若 △F_1 AB 面积是 △F_2 AB 面积的 2 倍, 则 m=()
A. 2/3
B. √2/3
C. -√2/3
D. -2/3
6. 已知函数 f(x)=ae^x-lnx 在区间 (1,2) 单调递增, 则 a 的最小值为()
A. e^2
B. e
C. e^(-1)
D. e^(-2)
7. 已知 α 为锐角, cosα=(1+√5)/4, 则 sin α/2=()
A. (3-√5)/8
B. (-1+√5)/8
C. (3-√5)/4
D. (-1+√5)/4
8. 记 S_n 为等比数列 {a_n } 的前 n 项和, 若 S_4=-5,S_6=21S_2, 则 S_8=()
A. 120
B. 85
C. -85
D. -120
二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合 题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.
9. 已知圆雉的顶点为 P, 底面圆心为 O,AB 为底面直径, ∠APB=120^∘,PA=2, 点 C 在底面圆周上, 且二面角 P-AC-O 为 45^∘, 则()
A.该圆锥的体积为 π
B. 该圆雉的例面积为 4√3 π
C. AC=2√2
D. △PAC 的面积为 √3
10. 设 O 为坐标原点, 直线 y=-√3 (x-1) 过抛物线 C:y^2=2px(p>0) 的焦点, 且与 C 交于 M,N 两点, l 为 C 的准线, 则()
A. p=2
B. |MN|=8/3
C. 以 MN 为直径的圆与 l 相切
D. △OMN 为等腰三角形
11. 若函数 f(x)=alnx+b/x+c/x^2 (a≠0) 既有极大值也有极小值, 则()
A. bc>0
B. ab>0
C. b^2+8ac>0
D. ac<0
12. 在信道内传输 0,1 信号, 信号的传输相互独立, 发送 0 时, 收到 1 的概率为 α(0<α<1), 收到 0 的概率为 1-α; 发送 1 时, 收到 0 的概率为 β(0<β<1), 收到 1 的概率为 1-β. 考虑两种传输方案: 单次传输和三次传输, 单次传输是指每 个信号只发送 1 次, 三次传输是指每个信号重复发送 3 次, 收到的信号需要译码, 译 码规则如下: 单次传输时, 收到的信号即为译码; 三次传输时, 收到的信号中出现次数 多的即为译码 (例如, 若依次收到 1,0,1, 则译码为 1 )()
A. 采用单次传输方案, 若依次发送 1,0,1, 则依次收到 1,0,1 的概率为 (1-α) (1-β)^2
B. 采用三次传输方案, 若发送 1 , 则依次收到 1,0,1 的概率为 β(1-β)^2
C. 采用三次传输方案, 若发送 1 , 则译码为 1 的概率为 β(1-β)^2+(1-β)^3
D. 当 0<α<0.5 时, 若发送 0 , 则采用三次传输方案译码为 0 的概率大于采用单次 传输方案译码为 0 的概率
三、填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.
13. 已知向量 a,b 满足 |a-b|=√3,|a+b|=|2a-b|, 则 |b|=
14. 底面边长为 4 的正四棱雉被平行于其底面的平面所截, 截去一个底面边长为 2 , 高为 3 的正四棱雉, 所得棱台的体积为
15. 已知直线 x-my+1=0 与 ⊙C:(x-1)^2+y^2=4 交于 A,B 两点, 写出满足 “ △ABC 面积为 8/5≥ 的 m 的一个值
16. 已知函数 f(x)=sin(ωx+φ), 如图, A,B 是 直线 y=1/2 与曲线 y=f(x) 的两个交点, 若 |AB|=π/6, f(π)=
四、解答题: 本大题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤.
17. 记 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 △ABC 面积为 √3,D 为 BC 的中点, 且 AD=1.
( 1 ) 若 ∠ADC=π/3, 求 tanB;
( 2 ) 若 b^2+c^2=8, 求 b,c.
18. 已知 {a_n } 为等差数列, b_n={■(a_n-6,&n"为奇数," @2a_n,&n"为偶数." )┤ 记 S_n,T_n 分别为数列 {a_n },{b_n } 的前 n 项和, S_4=32,T_3=16.
(1) 求 {a_n } 的通项公式;
(2)证明: 当 n>5 时, T_n>S_n.
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与末患病者的某项医学指标有明显差异, 经过大量调查, 得到如下的患病者和末患病者该指标的频率分布直方图:
利用该指标制定一个检测标准, 需要确定临界值 c, 将该指标大于 c 的人判定为阳性, 小于或等于 c 的人判定为阴性. 此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率, 记为 p(c); 误诊率是将末患病者判定为阳性的概率, 记为 q(c). 假设数据在组内均匀 分布, 以事件发生的频率作为相应事件发生的概率.
( 1 ) 当漏诊率 p(c)=0.5% 时, 求临界值 c 和误诊率 q(c);
(2 ) 设函数 f(c)=p(c)+q(c), 当 c∈[95,105] 时, 求 f(c) 的解析式, 并求 f(c) 在区 间 [95,105] 的最小值.
20. 如图, 三棱雉 A-BCD 中, DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60^∘,E 为 BC 的中点.
(1) 证明: BC⊥DA;
(2) 点 F 满足 (EF) ⃗=(DA) ⃗, 求二面角 D-AB-F 的正弦值.
21. 已知双曲线 C 的中心为坐标原点, 左焦点为 (-2√5,0), 离心率为 √5.
(1) 求 C 的方程;
(2) 记 C 的左、右顶点分别为 A_1,A_2, 过点 (-4,0) 的直线与 C 的左支交于 M,N 两点, M 在第二象限, 直线 MA_1 与 NA_2 交于点 P. 证明: 点 P 在定直线上.
22. (1) 证明: 当 0<x<1 p="" x-x^2<sinx<x;
(2)已知函数 f(x)=cosax-ln(1-x^2 ), 若 x=0 是 f(x) 的极大值点, 求 a 的取值 范围.
高考生考后怎么调节自己?
高考是一段紧张而充满压力的时期，考试结束后，考生需要进行适当的调节来恢复身心健康。以下是一些建议来帮助高考生进行调节：
休息和睡眠：给自己充足的休息时间，保证每天充足的睡眠。睡眠是身心恢复和修复的重要方式，有助于缓解疲劳和压力。
放松活动：参与一些放松的活动，如散步、瑜伽、冥想或深呼吸练习。这些活动有助于舒缓紧张的情绪，放松身心。
沉浸在兴趣爱好中：花时间做自己喜欢的事情，如阅读、绘画、听音乐、看电影等。这些活动可以让你心情愉悦，转移注意力，帮助你放松和恢复能量。
与亲友交流：与家人和朋友交流，分享你的经历和感受。他们的支持和理解可以给你带来安慰和鼓励，同时也是情感上的支持。
规划未来：思考和规划你的未来目标和计划。制定短期和长期目标，并开始为之努力。这样可以帮助你转移注意力，焦虑情绪逐渐减少。
健康生活方式：维持健康的生活方式，保持均衡的饮食，适度锻炼，充足的睡眠等。健康的身体有助于提升心理状态和情绪调节能力。
寻求支持：如果你感到无法应对或情绪困扰，不要犹豫寻求专业的支持。与心理咨询师或心理健康专家交流，他们可以提供适当的指导和支持。
最重要的是，给自己时间来适应和调整。高考结束后，你需要逐渐放松并逐步恢复。每个人的调节方式可能不同，所以找到适合自己的方式，并给自己足够的时间和空间来缓解压力，调整心态，以迎接未来的挑战。
高考查分要注意什么?
在进行高考查分时，有几点需要注意：
查分时间和方式：了解准确的高考成绩公布时间和查分方式。通常，学校或教育部门会提前通知考生关于成绩查询的具体安排，包括网上查询、短信通知或线下公布等方式。
准备好必要的证件：确保你携带了身份证(或有效的身份证明文件)和准考证等必要的证件，以便进行身份验证和查分。
核对个人信息：在查分之前，仔细核对个人信息的准确性，包括姓名、身份证号码等。确保个人信息无误，以免影响成绩的准确性。
注意成绩查询渠道的可靠性：选择官方或官方认可的渠道进行成绩查询，以确保成绩的准确性和可信度。避免通过非官方或不可靠的渠道查询成绩，以免遭受欺诈或信息泄露。
保留查分凭证：在查询成绩后，务必保留查分凭证或成绩单的副本作为备份。这样可以在后续需要时提供证明，并进行进一步的申请或报名手续。
查分后的心态调整：无论成绩如何，保持积极的心态和冷静的情绪。高考成绩只是你学习生涯中的一部分，不代表你的全部价值和能力。无论成绩好坏，都要以积极的态度面对，并为未来的发展制定合理的计划。
记住，高考成绩只是人生道路上的一站，无论结果如何，都有无限的机会和选择等待着你。重要的是，学会从经验中吸取教训，不断成长和进步。